Question

解答題：要求寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟

已知橢圓C的方程為＋＝1，點(diǎn)P(，1)是橢圓內(nèi)的定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求

　　

(Ⅰ)點(diǎn)Q的軌跡方程；

(Ⅱ)點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的外接圓方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A()，B()，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(x，y)，當(dāng)≠時(shí)，設(shè)直線(xiàn)L的斜率為K，則L的方程為y＝k(x－)＋1 由已知，＝1…………………① ＝k()＋1，＝k()＋1………② 由①得：＝0……③ 由②得：)－k＋2……………………④ 由③、④及， 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程－x－y＝0………⑤ 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l平行y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為(，0)，顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程⑤ 綜上所述，點(diǎn)Q的軌跡方程為－x－y＝0 (2)由解得上述軌跡即曲線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)(0，0)，(0，1) 由解得曲線(xiàn)L與x軸交于點(diǎn)(0，0)，(，0) 由三點(diǎn)(0，0)，(0，1)，(，0)為頂點(diǎn)的多邊形為直角三角形，其外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)()， 半徑γ＝ ∴外接圓的方程為＋＝