Question

如圖,正三棱柱中,側(cè)面是邊長為2的正方形,是的中點(diǎn),在棱上.

(1)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.
(2)當(dāng)點(diǎn)使得最小時(shí),判斷直線與是否垂直,并證明結(jié)論.

Answer 1

（1），（2）垂直，利用線面垂直證明線線垂直

試題分析：(1)因?yàn)閭?cè)面是邊長為2的正方形，
又

(2)解法1：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使得最小.此時(shí)平行且等于的一半,為的中點(diǎn).連接
在中，得
在中，得
在等腰中，得
所以由，，得有勾股定理知

解法2：將側(cè)面展開到側(cè)面得到矩形,連結(jié),交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使得最小.此時(shí)平行且等于的一半,為的中點(diǎn).過點(diǎn)作交于,連接，由且知四邊形為所以.在正三棱柱中知面,而，所以面.

點(diǎn)評：以棱錐為載體考查立體幾何中的線面、面面、點(diǎn)面位置關(guān)系或體積是高考的亮點(diǎn)，掌握其判定性質(zhì)及定理，是解決此類問題的關(guān)鍵