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對于函數
(1)用定義證明:f(x)在R上是單調減函數;
(2)若f(x)是奇函數,求a值;
(3)在(2)的條件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
【答案】分析:(1)按取點,作差,變形,判斷的過程來即可.
(2)利用奇函數定義域內有0,f(0)=0來求a值;
(3)利用單調性和奇偶性把f(2t+1)+f(t-5)≤0轉化為2t+1≥-t+5即可.
解答:(1)證明;設x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-=
∵y=2x在實數集上是增函數且函數值恒大于0,故>0,>0,>0.
即f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x)在R上是單調減函數
(2)解:由(1)的f(x)在R上是單調減函數,即函數定義域為R,
∵f(x)是奇函數,∴f(0)=0⇒a=-1.
(3)解:有(1)(2)可得f(x)在R上是單調減函數且是奇函數
∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.轉化為f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),⇒2t+1≥-t+5⇒t≥
故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集為:{t|t≥}.
點評:本題綜合考查了函數的單調性和奇偶性.在用定義證明或判斷一個函數在某個區間上的單調性時,基本步驟是取點,作差或作商,變形,判斷.
練習冊系列答案
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