Question

對于函數(shù)．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

【答案】分析：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，令f（-x）+f（x）=0，根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，可求出a值．
解答：證明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則，，，
∴f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=-=＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)為奇函數(shù)
則f（-x）+f（x）=+=+==2a-2=0
解得a=1
故存在實數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義是解答的關(guān)鍵．