Question

已知函數f（x）的定義域為（-2，2），f（x）≠0，且對任意實數a，b∈（-2，2）均滿足f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）．
（1）求f（0）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性并說明理由．
（3）當x∈（-2，0]時，f（x）為增函數，若f（1-m）＜f（m）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令a=b=0代入恒等式即可；
（2）利用賦值法，令a=0，b=x∈（-2，2），代入恒等式，再利用偶函數的定義即可證明；
（3）利用函數的對稱性和單調性知在定義域上，絕對值越大，函數值越小，依次列不等式組即可解得m的取值范圍

解答：解：（1）由題意知，當a=b=0時，f（0）+f（0）=2f²（0）
而f（0）≠0，∴f（0）=1
（2）令a=0，b=x∈（-2，2），則f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）
即f（x）+f（-x）=2f（x）
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數
（3）∵函數f（x）在（-2，2）上是偶函數，且當x∈（-2，0]時，f（x）為增函數
∴f（1-m）＜f（m）?f（|1-m|）＜f（|m|）
∴

|1-m|＞|m| |1-m|＜2 |m|＜2

    
解得-1＜m＜

1

2

點評：本題考查了抽象函數的意義和應用，函數奇偶性的定義，函數單調性與奇偶性的綜合應用