Question

1．已知f（x）是R上的可導函數，其導函數為f'（x），若對任意實數x，都有f（x）＞f'（x），且f（x）-1為奇函數，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，e⁴）
• C． （e⁴，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數判斷g（x）的單調性，根據單調性得出g（x）＜1的解．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）是減函數，
∵f（x）-1為奇函數，∴f（0）-1=0，即f（0）=1，
∴g（0）=1，
∴當x＞0時，g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，即f（x）＜e^x，
故選D．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，屬于中檔題．