Question

（2010•撫州模擬）稱一個函數是“好函數”當且僅當其滿足：（1）定義在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上單調遞增，在（a，b）上單調遞減．則以下函數中不是好函數的是（　　）

A．y=x|x-2|

B．y=x³-x+1

C．y=2x³-3x²-6x-1

D．y=7x⁴+28x+38

Answer 1

分析：選項A，可討論x去絕對值，然后根據二次函數可得函數的單調區間，選項B、C、D都是多項式函數，可利用導數研究函數的單調區間，然后根據“好函數”的定義進行判定即可．

解答：解：選項A，定義域為R，y=x|x-2|=

x2-2x  ，  x＞2 2x-x2 ， x≤2

∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，滿足好函數的定義；
選項B，y=x³-x+1定義域為R，則y′=3x²-1＜0解得x∈（-

3

3

，

3

3

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-

3

3

）∪（

3

3

，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）上單調遞增，在（-

3

3

，

3

3

）上單調遞減，滿足好函數的定義；
選項C，y=2x³-3x²-6x-1定義域為R，則y′=6x²-6x-6＜0解得x∈（

1- 5

2

，

1+ 5

2

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，

1- 5

2

）∪（

1+ 5

2

，+∞），
∴y=2x³-3x²-6x-1在（-∞，

1- 5

2

）、（

1+ 5

2

，+∞）上單調遞增，
在（

1- 5

2

，

1+ 5

2

）上單調遞減，滿足好函數的定義；
選項D，y=7x⁴+28x+38定義域為R，則y'=28x³+28＜0解得x＜-1，y'=28x³+28＞0解得x＞-1
∴y=7x⁴+28x+38在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增，不滿足好函數的定義；
故選D．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及絕對值函數的處理方法和新定義，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．