Question

已知k＜-4，則函數y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式把函數整理成關于cosx的一元二次方程，令cosx=t，則函數的對稱軸和開口分向可知，進而根據t的范圍和k的范圍推斷出函數在此區間上的單調性，進而可求得函數的最小值．

解答：解：y=cos2x+k（cosx-1）=2cos²x-1+kcosx-k=2cos²x+kcosx-（k+1）=0
令cosx=t，則-1≤t≤1，
y=2t²+kt-（k+1），對稱軸為t=-

k

4

，開口向上，
∵-1≤t≤1，k＜-4，
∴函數在[-1，1]單調減，進而可知當t=1時，函數有最大值2+k-k-1=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了三角函數的最值問題，二倍角公式的化簡求值．解題的時候注意對二次函數對稱軸位置的判斷．