Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-alnx，a∈R是常數．
（1）若a=2，求這個函數的圖象在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）在區間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定切線的斜率，從而可求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；
（2）依題意，x＞0，f/(x)=x-

a

x

=

1

x

(x2-a)，下面對字母a進行分類討論，求出函數的單調性與極值，再與端點函數值比較，即可得到函數f（x）在區間[1，e]上的最大值．

解答：解：（1）a=2時，f(x)=

1

2

x2-2lnx，f(1)=

1

2

x2-2lnx=

1

2

…（1分），
f/(x)=x-

2

x

…（2分），
f′（1）=-1…（3分），
所求切線方程為y-

1

2

=-(x-1)，即2x+2y-3=0…（4分）
（2）依題意，x＞0，f/(x)=x-

a

x

=

1

x

(x2-a)…（5分），
①a≤1時，因為x∈[1，e]，1≤x²≤e²，所以f′（x）≥0（等號當且僅當x=a=1時成立）…（6分），
所以f（x）在區間[1，e]單調遞增，最小值為f(1)=

1

2

…（7分）
②a≥e²時，因為1≤x²≤e²，所以f′（x）≤0（等號當且僅當x=a=e²時成立）…（6分），
所以f（x）在區間[1，e]單調遞減，最小值為f(e)=

1

2

e2-a…（9分）
③1＜a＜e²時，解f/(x)=

1

x

(x2-a)=0得x=±

a

（負值舍去）…（10分），

x	[1， a )	a	( a ，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	最小值	↗

…（13分），（第2、3、4列每列1分）
f（x）在區間[1，e]上的最小值為f(

a

)=

1

2

a2-

1

2

alna．
綜上所述，a≤1時，f（x）的最小值為f(1)=

1

2

；
1＜a＜e²時，f（x）的最小值為f(

a

)=

1

2

a2-

1

2

alna；
a≥e²時，f（x）的最小值為f(e)=

1

2

e2-a…（14分）．

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的最值，有一定的綜合性．