Question

15．（理科）定義：若各項為正實數的數列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\sqrt{a_n}（n∈{N^*}）$，則稱數列{a_n}為“算術平方根遞推數列”．
已知數列{x_n}滿足${x_n}＞0，n∈{N^*}$，且${x_1}=\frac{9}{2}$，點（x_n+1，x_n）在二次函數f（x）=2x²+2x的圖象上．
（1）試判斷數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列？若是，請說明你的理由；
（2）記y_n=lg（2x_n+1）（n∈N^*），求證：數列{y_n}是等比數列，并求出通項公式y_n；
（3）從數列{y_n}中依據某種順序自左至右取出其中的項${y_{n_1}}，{y_{n_2}}，{y_{n_3}}，…$，把這些項重新組成一個新數列{z_n}：${z_1}={y_{n_1}}，{z_2}={y_{n_2}}，{z_3}={y_{n_3}}，…$．
若數列{z_n}是首項為${z_1}={（\frac{1}{2}）^{m-1}}$、公比為$q=\frac{1}{2^k}（m，k∈{N^*}）$的無窮等比數列，且數列{z_n}各項的和為$\frac{16}{63}$，求正整數k、m的值．

Answer 1

分析 （1）數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列，利用點（x_n+1，x_n）在二次函數f（x）=2x²+2x的圖象上，可得x_n=2x_n+1²+2x_n+1，即可證明2x_n+1+1=$\sqrt{2{x}_{n}+1}$，從而數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列；
（2）由y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=$\sqrt{2{x}_{n}+1}$，可得y_n+1=$\frac{1}{2}$y_n，即可證明∴數列{y_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$等比數列，從而求出通項公式y_n；
（3）由題意可得數列{z_n}的首項為$\frac{1}{{2}^{m}-1}$，公比為$\frac{1}{{2}^{k}}$，可得 $\frac{16}{{2}^{k}}$+$\frac{63}{{2}^{m}-1}$=16，再分類討論，可得正整數k、m的值．

解答 解：（1）數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列，證明如下：
∵點（x_n+1，x_n）在二次函數f（x）=2x²+2x的圖象上，
∴x_n=2x_n+1²+2x_n+1，
∴2x_n+1=（2x_n+1+1）²，
∵x_n＞0，n∈N^*，
∴2x_n+1+1=$\sqrt{2{x}_{n}+1}$，
∴數列{2x_n+1}（n∈N^*）是否為算術平方根遞推數列；
（2）∵y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=$\sqrt{2{x}_{n}+1}$，
∴y_n+1=$\frac{1}{2}$y_n，
∵y₁=lg（2x₁+1）=1，
∴數列{y_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$等比數列，
∴通項公式y_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1
（3）由題意可得數列{z_n}的首項為$\frac{1}{{2}^{m}-1}$，公比為$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴$\frac{\frac{1}{{2}^{m}-1}}{1-\frac{1}{{2}^{k}}}$=$\frac{16}{63}$，
∴$\frac{16}{{2}^{k}}$+$\frac{63}{{2}^{m}-1}$=16，
若m-1≥3，則$\frac{16}{{2}^{k}}$+$\frac{63}{{2}^{m}-1}$≤$\frac{16}{{2}^{k}}$+$\frac{63}{8}$＜$\frac{16}{2}$+$\frac{63}{8}$＜16，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1時，$\frac{16}{{2}^{k}}$+$\frac{63}{{2}^{m}-1}$＞16，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=6．

點評 本題考查新定義，考查等比數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．