Question

已知函數f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求f（x）函數圖象的對稱軸方程；
（2）求f（x）的單調增區間．
（3）當x∈[

π

4

，

3π

4

]時，求函數f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換應用將f（x）化為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）即可求f（x）函數圖象的對稱軸方程；
（2）利用正弦函數的性質可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的單調增區間；
（3）當x∈[

π

4

，

3π

4

]時，可求得2x+

π

4

的范圍，從而可求得函數f（x）的最大值，最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
=1+sin2x+1+cos2x-2
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得：x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z；
∴函數f（x）圖象的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．
（2）∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤2kπ+

π

8

，k∈Z．
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的單調增區間為：[kπ-

3π

8

，2kπ+

π

8

]k∈Z．
（3）

π

4

≤x≤

3π

4

，
∴2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）∈[-1，1]．
∴函數f（x）的最大值為：1，最小值為：-1．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查復合三角函數的單調性與最值，求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）是關鍵，屬于中檔題．