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【題目】已知橢圓的離心率為,且過點

(Ⅰ)求橢圓方程;

(Ⅱ)設不過原點的直線,與該橢圓交于兩點,直線的斜率分別為,滿足

(i)當變化時,是否為定值?若是,求出此定值,并證明你的結論;若不是,請說明理由;

(ii)求面積的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)y2=1;(Ⅱ)(i)見解析;(ii)(0,1).

【解析】

(Ⅰ)由題設條件,設cka=2k,則bk,利用待定系數法能求出橢圓方程.

(Ⅱ)(i)由,得(1+4k2x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用根的判別式、韋達定理、斜率性質,結合已知條件推導出當k變化時,m2是定值

②利用橢圓弦長公式,結合已知條件能求出△OPQ面積的取值范圍.

(Ⅰ)由題設條件,設cka=2k,則bk

∴橢圓方程為1,

把點()代入,得k2=1,

∴橢圓方程為y2=1.

(Ⅱ)(i)當k變化時,m2是定值

證明如下:

,得(1+4k2x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,

∵直線OPOQ的斜率依次為k1k2

∴4kk1+k2

∴2kx1x2mx1+x2),由此解得,驗證△>0成立.

∴當k變化時,是定值

SOPQ|x1x2||m|,令t>1,

SOPQ1,

∴△OPQ面積的取值范圍SOPQ(0,1).

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅲ)從成績在100~120分的學生中,用分層抽樣的方法從中抽取5名學生,再從這5名學生中隨機選兩人甲、乙,記甲、乙的成績分別為,求概率

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編號

長度

1.49

1.46

1.51

1.51

1.53

1.51

1.47

1.51

其中長度在區間內的零件為一等品.

(1)從上述8個零件中,隨機抽取一個,求這個零件為一等品的概率;

(2)從一等品零件中,隨機抽取2個.

①用零件的編號列出所有可能的抽取結果;

②求這2個零件長度相等的概率.

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(1)a的值;

(2)若函數g(x)(2x1)·f(x)k有零點,求實數k的取值范圍;

(3)x(01)時,f(x)>m·2x2恒成立,求實數m的取值范圍.

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1)若,求實數的取值范圍;

2)若,求時實數的取值范圍;

3)設,若對于任意的,都有,求實數的取值范圍.

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【題目】如圖,在四棱錐中,是正三角形,四邊形是正方形.

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若,求直線與平面所成角的正弦值.

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