Question

已知E（2，2）是拋物線C：y²=2px上一點，經過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線EA，EB分別交直線x=-2于點M，N．
（Ⅰ）求拋物線方程及其焦點坐標；
（Ⅱ）已知O為原點，求證：∠MON為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將E（2，2）代入y²=2px，得p=1，由此能求出拋物線方程和焦點坐標．
（Ⅱ）設A（，y₁），B（，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），設直線l方程為y=k（x-2），與拋物線方程聯立得到ky²-2y-4k=0，由韋達定理，得y₁y₂=-4，，由此能夠推導出∠MON為定值．
解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：將E（2，2）代入y²=2px，得p=1，
所以拋物線方程為y²=2x，焦點坐標為（，0）．…（3分）
（Ⅱ）證明：設A（，y₁），B（，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因為直線l不經過點E，所以直線l一定有斜率
設直線l方程為y=k（x-2），
與拋物線方程聯立得到，消去x，得：
ky²-2y-4k=0，
則由韋達定理得：
y₁y₂=-4，，…（6分）
直線AE的方程為：y-2=，
即y=，
令x=-2，得y_M=，…（9分）
同理可得：，…（10分）
又∵，，
所以=4+y_My_N=4+
=4+
==0…（13分）
所以OM⊥ON，即∠MON為定值…（14分）．
點評：本題考查拋物線方程及其焦點坐標的求法，考查角為定值的證明，解題時要認真審題，注意拋物線的簡單性質，直線與拋物線的位置關系、韋達定理等知識點的合理運用．