Question

（2012•濟南二模）山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學校為單位進行體育測試，某校對高三1班同學按照高考測試項目按百分制進行了預備測試，并對50分以上的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，若90～100分數段的人數為2人．
（Ⅰ）請估計一下這組數據的平均數M；
（Ⅱ）現根據初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個小組．若選出的兩人成績差大于20，則稱這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率．

Answer 1

分析：（I）根據頻率分布直方圖可知，各個小組的頻率，再根據平均數的求法即可解出這組數據的平均數M．
（II）本題是一個等可能事件的概率，可以列舉出從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法，滿足條件的事件是兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，根據等可能事件的概率公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：50～60分的頻率為0.1，60～70分的頻率為0.25，70～80分的頻率為0.45，80～90分的頻率為0.15，90～100分的頻率為0.05； …（2分）
∴這組數據的平均數M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73（分） …（4分）
（Ⅱ）∵第五組90～100分數段的人數為2人，頻率為0.05；
故參加的總人數為

2

0.05

=40人．
第一組共有40×0.01×10=4人，記作A₁、A₂、A₃、A₄；
第五組共有2人，記作B₁、B₂
從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A₁，A₂}、{A₁，A₃}、
{A₁，A₄}、{A₂，A₃}、{A₂，A₄}、{A₃，A₄}；{A₁，B₁}、{A₂，B₁}、{A₃，B₁}、
{A₄，B₁}；{A₁，B₂}、{A₂，B₂}、{A₃，B₂}、{A₄，B₂}；{B₁，B₂}．共有15種結果，
設事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”．
若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，
故P（A）=

8

15

．

點評：本題考查用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，考查等可能事件的概率，考查用列舉法來數出事件數，這是一個概率與統計的綜合題目．