Question

定義在R上的函數f（x），滿足對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）如果f（3）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函數，試求實數x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0；
令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）∵f（3）=1，
∴f（6）=f（3）+f（3）=2，
∴原不等式化為f（x-1）＜f（6）．
又f（x）在[0，+∞）上是增函數，
f（0）=0且f（x）是奇函數，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數．
因此x-1＜6，
∴x＜7．
所以實數x的取值范圍是（-∞，7）．
分析：（1）由函數f（x）滿足對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）．令x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，結合函數奇偶性的定義，可得f（x）為奇函數．
（2）若f（x）在[0，+∞）上是增函數，根據奇函數在對稱區間上單調性相同，可得f（x）在R上為增函數，結合f（3）=1，可將不等式f（x-1）＜2轉化為一個關于x的整式不等式，解不等式可得實數x的取值范圍
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的證明與判斷，函數單調性的證明與判斷，抽象函數，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．