Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），且．
（I）求a₂與a₃；
（II）求證：數列是等差數列；
（III）試比較a₁+2a₂+3a₃+…+na_n與2ⁿ⁺¹-n-2的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），
∴S₂=4a₂-2=a₁+a₂，S₃=9a₃-6=a₁+a₂+a₃，
∵，
∴，．
（Ⅱ）證明：由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），及 S_n=n²a_n-n（n-1）得
S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即 （n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴=1，
∵，∴
∴{ }是首項為1，公差為1的等差數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
∴，
又已知S_n=n²a_n-n（n-1），
∴=n²a_n-n（n-1），
∴．
∵2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ≥1+n，
∴，
∴，
∴
∴a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤+…
=
=
=
∵當n∈N^*時，，即，
∴＜2ⁿ⁺¹-n-2．
即a₁+2a₂+3a₃+…+na_n＜2ⁿ⁺¹-n-2
分析：（Ⅰ）利用S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），n分別取2，3代入，結合，可求a₂與a₃的值；
（II）由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），結合條件可得 =1，結論得證．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，根據S_n=n²a_n-n（n-1），可得=n²a_n-n（n-1），從而有，利用 2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+C_nⁿ≥1+n，得，從而有，故a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤+…，利用分組求和即可得結論．
點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列遞推式的運用，考查等差數列的定義，考查放縮法，解題的關鍵是合理運用數列遞推式．