Question

如圖，在三棱柱ADF-BCE中，側棱AB⊥底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，M、G分別是AB、DF的中點．
（1）求證GA∥平面FMC；
（2）求直線DM與平面ABEF所成角．

Answer 1

分析：（1）欲證GA∥平面FMC，可先證明面GSA∥面FMC，取DC中點S，連接AS、GS、GA，根據中位線定理可知GS∥FC，AS∥CM，滿足面面平行的判定定理，而GA?面GSA，滿足面面平行的性質，從而得到結論；
（2）在平面ADF上，過D作AF的垂線，垂足為H，連DM，則DH⊥平面ABEF，根據線面所成角的定義可知∠DMH是DM與平面ABEF所成的角．在RT△DHM中，求出此角即可．

解答：解：（1）證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA，
∵G是DF的中點，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，而GA?面GSA，
∴GA∥平面FMC
（2）在平面ADF上，過D作AF的垂線，垂足為H，連DM，則DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM與平面ABEF所成的角．
在RT△DHM中，DH=

2

2

a，DM=

2

a
∴sin∠DMH=

DH

DM

=

1

2

，
∠DMH=

π

6

所以DM與平面ABEF所成的角為

π

6

．

點評：本題主要考查了直線與平面的所成角，以及直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力、計算與推理能力，屬于中檔題．