Question

（2013•貴陽二模）如圖，在三棱柱ADF-BCE中，側棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是線段DF的中點，M是線段AB上一點．
（I）若M是線段AB的中點，求證：GA∥平面FMC
（II）若多面體BCDMFE的體積是多面體F-ADM的體積的3倍，AM=λMB，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）方法一（面面平行性質法）：取DC中點S，連接AS，GS，GA，由三角形中位定理可得GS∥FC，AS∥CM，進而由面面平行的第二判定定理可得面GSA∥面FMC，最后由面面平行的性質，得到答案．
方法二：（線面平行的判定定理法）：取FC中點N，連接GN，MN，由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理，可得AMNG是平行四邊形，進而AG∥MN，最后由線面平行的判定定理得到答案．
（II）設三棱柱ADF-BCE的體積為V，多面體F-ADM與多面體DMFEBC的體積分別是V₁，V₂，AM=x，由多面體BCDMFE的體積是多面體F-ADM的體積的3倍，可求出x與a的關系，進而得到λ值．

解答：證明：（I）
方法一（面面平行性質法）：
取DC中點S，連接AS，GS，GA
∵G是DF的中點，GS∥FC，AS∥CM
∵GS∩AS=S，GS，AS?面GSA，FC，CM?面FMC
∴面GSA∥面FMC，
而GA?平面GSA，
∴GA∥平面FMC…（6分）
方法二：（線面平行的判定定理法）
取FC中點N，連接GN，MN
∵G是DF中點
∴GF∥CD且GN=

1

2

CD
又∵AM∥CD且AM=

1

2

CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四邊形
∴AG∥MN又
∵MN?平面FCM，AG?平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）設三棱柱ADF-BCE的體積為V，多面體F-ADM與多面體DMFEBC的體積分別是V₁，V₂，AM=x．
由題意得，V=(

1

2

DA•DF)•AB=(

1

2

a•a)•2a=a3，
V1=VM-ADF=

1

3

(

1

2

DA•DF)•x=

1

6

a2x，
V2=V-V1=a3-

1

6

a2x．…（9分）
因為V₂=3V₁
所以a3-

1

6

a2x=3•

1

6

a2x，解得x=

3

2

a．
所以λ=

AM

BM

=

3 2 a

2a- 3 2 a

=3．…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（I）的關鍵是熟練線面平行的證明方法和步驟，（II）的關鍵是由多面體BCDMFE的體積是多面體F-ADM的體積的3倍，求出x與a的關系．