Question

如圖，在三棱柱ADF-BCE中，矩形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M為AF的中點，BN⊥CE．
（1）證明：CF∥平面MBD；
（2）證明：CF⊥平面BDN
（3）求平面BDM把此棱柱分成的兩部分幾何體的體積之比．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接OM，證明FC∥MO，然后證明CF∥平面MBD；      
（2）因為正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，推出AF⊥平面ABCD．證明FC⊥BD，證明EF⊥BN，BN⊥FC，然后證明CF⊥平面BDN即可．
（3）平面BDM把三棱錐分成了棱錐A-BDM和多面體BDM-CFE兩部分，利用棱錐體積公式和棱柱體積公式，結(jié)合割補(bǔ)法，求出兩部分體積，可得答案．

解答：證明：（1）連接AC交BD于O，連接OM
因為M為AF中點，O為AC中點，
所以FC∥MO，
又因為MO?平面MBD，
所以CF∥平面MBD；                                 
（2）因為正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以AF⊥平面ABCD．
所以AF⊥BD，又因為
所以BD⊥平面ACF，所以FC⊥BD
因為，正方形ABCD和矩形ABEF，所以AB⊥BC，AB⊥BE，
所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥BN，又因為EF∥AB，所以EF⊥BN
又因為EC⊥BN，所以BN⊥平面CEF，所以BN⊥FC，
所以CF⊥平面BDN．                                
解：（3）∵AF=2AB=2AD=2，
∴三棱柱ADF-BCE的體積V=

1

2

×2×1×1=1
設(shè)棱錐A-BDM的體積為V₁，多面體BDM-CFE的體積為V₂，
則V₁=V_M-ADB=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

則V₂=V-V₁=

5

6

∴平面BDM把此棱柱分成的兩部分幾何體的體積之比為1：5

點評：本題考查直線與平面垂直，直線與平面平行的證明，考查空間想象能力，計算能力．