Question

【題目】一個函數，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長、、都在的定義域內，就有、、也是某個三角形的三邊長，則稱為“雙三角形函數”.

（1）判斷，，中，哪些是“雙三角形函數”，哪些不是，并說明理由；

（2）若是定義在上周期函數，值域為，求證：不是“雙三角形函數”；

（3）已知函數，，求證：函數是“雙三角形函數”.（可利用公式“”）

Answer 1

【答案】（1）、是“雙三角形函數”，不是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）任給三角形,設它的三邊長分別為、、,則,不妨設,判斷、、是否滿足任意兩數之和大于第三個數,即任意兩邊之和大于第三邊；

（2）要想一個函數不是“雙三角形函數”關鍵是根據題中條件是定義在上的周期函數,值域為,舉出反例；

（3）分別討論與兩種情況下的關系,即可得證

（1）、是“雙三角形函數”,不是；

任給三角形,設它的三邊長分別為、、,則,不妨設,由于,所以、是“雙三角形函數”.

對于,3,3,5可以作為一個三角形的三邊長,但,所以不存在三角形以可作為一個三角形的三邊長,故不是“雙三角形函數”.

（2）證明：設為的一個周期,由于其值域為,所以,存在,使得,,取正整數,可知,,這三個數可作為一個三角形的三邊長,但,,不能作為任何一個三角形的三邊長,故不是“雙三角形函數”.

（3）證明：對任意三角形的三邊、、,若,

則①當時,此時,同理可得,，

所以,則,,同理可證其余兩式.

所以可作為某個三角形的三邊長.

②,此時,可得如下兩種情況：

當時,由于,所以.

由在上的單調性可得；

當時,,同樣,由在上的單調性可得

故,

又由及余弦函數在上單調遞減,可得,

所以,

同理可證其余兩式,所以可作為某個三角形的三邊長.

綜上,函數是“雙三角形函數”.