Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若時(shí)，討論在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）一個(gè)零點(diǎn)；（2）

【解析】

分和兩種情況進(jìn)行分類討論,利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷即可;

利用分類討論思想,分,,分別求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)在上的最小值即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，故，

故在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，，故，

因此在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

故存在唯一使得.

綜上知，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，，

故，所以在上單調(diào)遞增.

故，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，，

故在上單調(diào)遞增，

故，可得，

所以在上單調(diào)遞增，

因此,符合題意；

③當(dāng)時(shí)，令，

則，，

令，，

故，故，

由零點(diǎn)存在性定理可知,存在使得，

所以在上，在上，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，與題意矛盾，

故不符合題意.

綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.