Question

經(jīng)過隨機(jī)抽樣，得到1000名高三學(xué)生體重的基本情況，如下表：

	偏瘦	正常	偏胖
女生（人）	100	173	b
男生（人）	150	177	c

（1）根據(jù)研究需要，有關(guān)部門按體重偏瘦、正常、偏胖在這1000名學(xué)生中進(jìn)行分層抽樣，在等額抽取男生女生的前提下，已知抽取了16名體重偏胖的學(xué)生，試求在所有抽取的學(xué)生中男生人數(shù)；
（2）假設(shè)b≥150，c≥190，求這1000名學(xué)生中，體重偏胖的男生人數(shù)少于體重偏胖的女生人數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，體重偏胖的學(xué)生人數(shù)為b+c=400，設(shè)1000名學(xué)生中應(yīng)該抽取x人，則由

x

1000

=

16

400

，解得x的值，再根據(jù)所抽取的學(xué)生中男生與女生相等，可得所有抽取的學(xué)生中男生人數(shù)．
（2）由題意可得線性約束條件

150≤b≤210 190≤c≤250 b+c=400

，畫出可行域，即圖中直角三角形ABD及其內(nèi)部區(qū)域．則本題即求c＜b的概率，而由幾何概型可得c＜b的概率等于△BEM的面積除以直角三角形ABD的面積，計(jì)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意可知，體重偏胖的學(xué)生人數(shù)為b+c=400，設(shè)1000名學(xué)生中應(yīng)該抽取x人，
則

x

1000

=

16

400

，解得x=40，又所抽取的學(xué)生中男生與女生相等，
故所有抽取的學(xué)生中男生人數(shù)為20人．
（2）由b+c=400，且b≥150，c≥190，可得線性約束條件

150≤b≤210 190≤c≤250 b+c=400

，
畫出可行域，即圖中直角三角形ABD及其內(nèi)部區(qū)域．
則本題即求c＜b的概率．
如圖所示：設(shè)直線c=b和AB、BC的交點(diǎn)分別為E、F，直線EF和BD的交點(diǎn)為M，
故c＜b的概率等于△BEM的面積除以直角三角形ABD的面積．
再由題意可得，直角三角形ABD的面積為

1

2

×60×60=1800，
點(diǎn)E（190，190 ）、F（210，210），M（200，200），
故△BEM的面積為

1

2

EB•（y_M-190）=

1

2

×20×10=100，
故c＜b的概率等于 

100

1800

=

1

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，簡單的線性規(guī)劃，幾何概型的應(yīng)用，屬于中檔題．