Question

如圖所示，已知E、F分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁和棱CC₁的中點．試判斷四邊形EBFD₁的形狀．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質,平面的基本性質及推論

專題：空間位置關系與距離

分析：根據線面平行的性質結合三角形全等的判定定理以及菱形的判定定理證出即可．

解答： 解：如圖，取BB₁的中點M，連接A₁M、MF．
∵M、F分別是BB₁、CC₁的中點，
∴MF∥B₁C₁．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有A₁D₁∥B₁C₁，
∴M∥A₁D₁．
∴四邊形A₁MFD₁是平行四邊形，
∴A₁M∥D₁F．
又E、M分別是AA₁、BB₁的中點，
∴A₁E∥BM，
∴四邊形A₁EBM為平行四邊形．∴EB∥A₁M．
∴EB∥D₁F．
∴四邊形EBFD₁是平行四邊形．
又Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，∴四邊形EBFD₁為菱形．

點評：本題考查了線面平行的性質，考查了平行四邊形的性質以及菱形的判定問題，考查了數形結合，是一道中檔題．