Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任何正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，且在點P_n（n，S_n）處的切線的斜率為K_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=2Knan，，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件，先求出數列{a_n}的前n項和S_n的表達式，進而求得數列{a_n}的通項公式；
（2）根據題中條件求出K_n的表達式，結合前面求得的數列{a_n}的通項公式，即可求得數列{b_n}的通項公式，進而可以求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*）．…（3分）
當n=1時，a₁=S₁=1+2=3；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1   ①
當n=1時，a₁=3也滿足①式．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1．…（6分）
（2）由f（x）=x²+2x求導可得f′（x）=2x+2．
∵過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為K_n，
∴K_n=2n+2．…（8分）
又∵bn=2Kn•an，
∴b_n=2²ⁿ⁺²（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ，
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ ①
由①×4得：∴4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹ ②
①-②得-3T_n=4×（3×4+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-（2n+1）4ⁿ⁺¹）
=4×（12+2×

16×(1-4n-1)

1-4

-（2n+1）4ⁿ⁺¹）=

4

3

-

1

3

×(6n+1)4n+1
所以 T_n=

1

9

×(6n+1)44n+1-

4

9

…（12分）

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列與函數的綜合掌握，是各地高考的熱點，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．