Question

2．定義在R上的奇函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，又f（-3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-3，0）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-3，3）

Answer 1

分析 由題意和奇函數的性質判斷出：f（x）在（-∞，0）上的單調性、圖象所過的特殊點，畫出f（x）的示意圖，將不等式等價轉化后，根據圖象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）在R上是奇函數，在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數，
由f（-3）=0得，-f（3）=0，即f（3）=0，
由f（-0）=-f（0）得，f（0）=0，
作出f（x）的示意圖，如圖所示：
∵xf（x）＜0等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴由圖象得，0＜x＜3或-3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集為：（-3，0）∪（0，3），
故選A．

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的關系，以及奇函數的性質，考查數形結合思想，轉化思想，畫出函數的示意圖是解題關鍵．