Question

已知向量

m

=（2sinx，2），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x）．記f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：利用向量的數量積運算得到f（x）的解析式化簡為一個角的一個三角函數的形式，然后解答

解答： 解：（Ⅰ）由已知f（x）=2sinxsin（x+

π

3

）+2cos²x=2sinx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）+2cos²x=sin（2x+

π

6

）+

3

2

；
所以函數y=sinx的單調遞減區間為2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
所以f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
f（x）的值域為[

3- 3

2

，

5

2

]．

點評：本題考查了向量的數量積運算以及三角函數的恒等變形，關鍵是正確數量積的坐標運算以及正確熟練運用三角函數關系式化簡函數解析式，然后求相關的性質．