Question

如圖，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1．記∠BPC=θ，則當PD=

 

時，使tanθ達到最大值

 

．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：解三角形,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)PD=x，可求得：AC=

2

，AB=

5

，PA=

x2-1

，PC=

x2+1

，BP=

x2+4

，在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=

PB2+PC2-BC2

2PB•PC

=

2x2+4

2 x2+1 x2+4

，從而可求得tanθ=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

≤

1

2 2

=

2

4

（當且僅當x=

2

時取等號）．

解答： 解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，設(shè)PD=x，
∴可求得：AC=

2

，AB=

5

，PA=

x2-1

，PC=

x2+1

，BP=

x2+4

，
∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=

PB2+PC2-BC2

2PB•PC

=

2x2+4

2 x2+1 x2+4

∴tan²θ=

1

cos2θ

-1=

(x2+1)(x2+4)

(x2+2)2

-1=

x2

(x2+2)2

∴tanθ=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

≤

1

2 2

=

2

4

（當且僅當x=

2

時取等號）
故答案為：

2

，

2

4

．

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查，屬于中檔題．