Question

若F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，P是該橢圓上的一個動點，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

．
（1）求出這個橢圓的方程；
（2）是否存在過定點N（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，使∠AOB=90°（其中0為坐標原點）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知2a=4，2c=2

3

，由此能求出橢圓方程．
（2）設l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x2 4 +y2=1 y=kx+2

⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0，故△=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0⇒k2＞

3

4

，x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，由∠AOB=90°，知

OA

•

OB

=0，由此能求出求出直線l的斜率k．

解答：解：（1）∵F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，
P是該橢圓上的一個動點，且|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2

3

，
∴2a=4，2c=2

3

，
即a=2，c=

3

，∴b=

4-3

=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當l的斜率不存在時，即x=0不滿足題設條件…3
設l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x2 4 +y2=1 y=kx+2

⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0，
∴△=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0⇒k2＞

3

4

，
∴x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
∵∠AOB=90°，∴

OA

•

OB

=0，

∴ OA • OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k2x1x22k(x1+x2)+4 =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) 12 1+4k2 +2k(- 16k 1+4k2 )+4= 4(4-k2) 1+4k2 =0，

∴k²=4，k=±2．

點評：本題考查橢圓方程的求法，探索直線的斜率是否存在，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．