Question

若F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點，P是該橢圓上的一個動點，且．
（1）求出這個橢圓的方程；
（2）是否存在過定點N（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，使∠AOB=90°（其中0為坐標原點）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，由此能求出橢圓方程．
（2）設l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，故，，由∠AOB=90°，知，由此能求出求出直線l的斜率k．
解答：解：（1）∵F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點，
P是該橢圓上的一個動點，且|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
∴，
即a=2，c=，∴，
∴橢圓方程為．
（2）當l的斜率不存在時，即x=0不滿足題設條件…3
設l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∴，
∴，
∵∠AOB=90°，∴，

∴k²=4，k=±2．
點評：本題考查橢圓方程的求法，探索直線的斜率是否存在，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．