Question

若F₁、F₂分別是橢圓在左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點，且．
（1）求出這個橢圓的方程；
（2）是否存在過定點N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，使∠AOB=90°（其中O為坐標原點）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，∵
∴2a=4，2c=2，
∴a=2，c=，∴
∴橢圓的方程為；
（2）顯然當直線的斜率不存在時，不滿足題設條件，
設方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組，
消元可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∴x₁+x₂=，
由△=256k²﹣4（1+4k²）×12＞0，
可得                                    ①
∵∠AOB=90°，∴
∴
∴k²=4                                         ②
①②可得，k=±2