Question

若F₁、F₂分別是橢圓在左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點，且．
（1）求出這個橢圓的方程；
（2）是否存在過定點N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，使∠AOB=90°（其中O為坐標原點）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，∵
∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=，∴
∴橢圓的方程為；
（2）顯然當直線的斜率不存在時，不滿足題設條件，設方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立方程組，消元可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∴x₁+x₂=，
由△=256k²-4（1+4k²）×12＞0，可得①
∵∠AOB=90°，∴
∴
∴k²=4②
由①②可得，k=±2
分析：（1）根據，可得a=2，c=，從而可求橢圓的方程；
（2）設方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立，利用韋達定理及，即可求出直線l的斜率k．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是直線與橢圓的方程聯立，利用韋達定理求解．