Question

【題目】設函數，．

（1）若，且在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若且，求證：在區間上有且僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析： (1)已知單調區間求參數的取值范圍,將問題轉化為函數的最值問題;

(2)研究函數的零點,用零點存在性定理、數形結合思想求解.

試題解析：（1）∵，∴，

若，且在區間上單調遞增，

則對任意的恒成立，即對任意的恒成立，

∴，即實數的取值范圍為.

（2）當時，，∴，

由，得；由，得.∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

當時，在區間上單調遞減，且，

∴在區間上有且僅有一個零點，

當時，，∴在區間上單調遞減，

又，，

∴在區間上有且僅有一個零點.

綜上，若且，則在區間上有且僅有一個零點.

點晴：本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性以及零點的個數,對邏輯思維能力、數形結合思想要求很高,屬于難題.第(1)問已知單調區間求參數的取值范圍,將含參函數問題轉化為確定函數的最值問題;第(2)問研究函數的零點,用零點存在性定理、數形結合思想求解.