Question

設(shè)函數(shù)(其中).

(1) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為極大值為，極小值為；（2）詳見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）先求，解方程，得可能的極值點(diǎn)，列表可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）．當(dāng)時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)，故只需證明函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．分和利用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，．

令，得，．

當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:

		極大值		極小值

由表可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為極大值為，極小值為．                                  6分

（2）．當(dāng)時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)，故只需證明函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

①若，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．

在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

②若，則在上單減，上單增．

令則．在上單增，在上單增，，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．                          13分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；2、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的零點(diǎn)．