Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若Sn=2an+n，且bn=

an-1

anan+1

．
（1）求證：{a_n-1}為等比數列；
（2）求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）數列的第n項與前n項和的關系求得 a_n+1-1=2（a_n-1-1），a₁-1=-2≠0，可得{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數列．
（2）由（1）求出an=-2n+1，由此求得數列{b_n}的通項公式，再用裂項法求出數列{b_n}的前n項和．

解答：（1）解：由題意可得：當n≥2時，由 a_n =S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），可得 a_n =2a_n-1-1，…（2分）
∴a_n+1-1=2（a_n-1-1）．…（4分）
又因為S₁=2a₁+1，所以a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數列．…（7分）
（2）解：由（1）知，an-1=-2×2n-1=-2n，即an=-2n+1，…（9分）
∴bn=

-2n

(1-2n)(1-2n+1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n-1

，（11分）
故Tn=-[(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

1

2n+1-1

-1．（14分）

點評：本題主要考查等比關系的確定，用裂項法對數列進行求和，數列的第n項與前n項和的關系，屬于難題．