Question

已知不等式xy≤ax²+2y²，若對(duì)任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，該不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．a(chǎn)≥-1

B．a(chǎn)≤-1

C．a(chǎn)≥-15

D．a(chǎn)≤-15

Answer 1

分析：將a分離出來(lái)得a≥

y

x

-2（

y

x

）²，然后根據(jù)x∈[1，2]，y∈[2，3]求出

y

x

的范圍，令t=

y

x

，則a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出t-2t²的最大值，即可求出a的范圍．

解答：解：由題意可知：不等式xy≤ax²+2y²對(duì)于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥

y

x

-2（

y

x

）²，對(duì)于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=

y

x

，根據(jù)右圖可知?jiǎng)t1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t²+t=-2（t-

1

4

）²+

1

8

，1≤t≤3，
∴y_max=-1，
∴a≥-1
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是不等式與恒成立的綜合類問題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分離參數(shù)的方法、恒成立的思想以及整體代換的技巧．值得同學(xué)們體會(huì)與反思．屬于中檔題．