Question

給定四條曲線：①x2+y2=

5

2

，②

x2

9

+

y2

4

=1，③x2+

y2

4

=1，④

x2

4

+y2=1，其中與直線x+y-

5

=0僅有一個交點的曲線是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：判斷直線和圓的位置關系時，只要比較圓心到這條直線的距離d與半徑r的大小即可．當d＜r時，直線和圓相交，有兩個交點；當d=r時，直線和圓相切，有一個交點；當d＞r時，直線和圓想離，無交點；判斷直線和橢圓的交點個數時，聯立直線方程和橢圓方程，整理，由△的符號即可判斷出其交點個數．當△＞0時，有兩個交點；當△=0時，有一個交點；當△＜0時，無交點，據此計算可得答案．

解答：解：①中，圓心（0，0）到直線x+y-

5

=0的距離為

5

2

等于半徑，故滿足題意．
②中，聯立方程

x2 9 + y2 4 =1 x+y- 5 =0

，整理得，13x2-18

5

x+9=0．△≠0，故不滿足題意．
③中，聯立方程

x2+ y2 4 =1 x+y- 5 =0

．整理得，5x2-2

5

x+1=0．△=0，故滿足題意．
④中，聯立方程

x2 4 +y2=1 x+y- 5 =0

，整理得，5x2-8

5

x+16=0，△=0．故滿足題意．
故本題中①③④滿足，答案為D．

點評：在判定直線和圓錐曲線的交點個數時，可聯立方程組，由方程組的解的個數從而確定交點的個數．對于判斷圓和直線的位置關系時，除此之外，還可以用更為簡單的幾何方法，用圓心到直線的距離與半徑作比較．