Question

（2011•成都模擬）對函數Φ（x），定義f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n為常數）為Φ（x）的第k階階梯函數，m叫做階寬，n叫做階高，已知階寬為2，階高為3．
（1）當Φ（x）=2^x時
①求f₀（x）和f_k（x）的解析式；
②求證：Φ（x）的各階階梯函數圖象的最高點共線；
（2）若Φ（x）=x²，則是否存在正整數k，使得不等式f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題目中給出的階梯函數的定義解決該類問題．關鍵要理解階梯函數的定義以及一些字母和符號的含義．為求解函數解析式做準備，證明共線只需說明各點連線的斜率相等；
（2）掌握探究性問題的解決方法，要假設存在正整數，尋找相應的關系式進行求解或說明．

解答：解：（1）①f₀（x）=Φ（x））=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=Φ（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
②∵f_k（x）=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z是增函數，
∴Φ（x）的第k階階梯函數圖象的最高點為P_k（2k+2，4+3k），
第k+1階階梯函數圖象的最高點為P_k+1（2k+4，7+3k），
所以過P_k、P _k+1這兩點的直線的斜率為k=

(7+3k)-(4+3k)

(2k+4)-(2k+2)

=

3

2

．同理可得過P_k+1、
P _k+2這兩點的直線的斜率也為

3

2

．所以，Φ（x）的各階階梯函數圖象的最高點共線．

（2）若Φ（x）=x²，則f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1?（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，
整理得出x²-（k+1）x+1＜0．當k=1時，x²-2x+1＜0無解，當k≥2時，x²-（k+1）x+1＜0，
得出

k+1- (k+1)2-4

2

＜x＜

k+1+ (k+1)2-4

2

     ①
又根據x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ②
又根據

k+1+ (k+1)2-4

2

＜

k+1+ (k+1)2

2

=k+1＜2k，①②無公共部分，即不存在正整數k滿足題意．

點評：本題考查新定義型問題的解決方法，屬于創新題型．關鍵要理解階梯函數的定義，然后寫出該函數的解析式，利用單調性寫出該函數的最值．掌握探究性問題的研究方法，先假設存在，再尋找字母滿足的關系式，進行求解和判斷．