Question

已知：向量

OA

=（sin

θ

2

，1-cosθ），

OB

=（cos

θ

2

，

1

2

），（O為坐標原點）．
（1）求

OA

•

OB

的最大值及此時θ的值組成的集合；
（2）若A點在直線y=2x+m上運動，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的數(shù)量積，令θ-

π

4

=

π

2

+2kπ，求出最大值．
（2）將A的坐標代入直線的方程表示出m，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡m的解析式；再對m的解析式配方，求出m的范圍．

解答：解：（1）

OA

•

OB

=

1

2

sinθ-

1

2

cosθ+

1

2

=

2

2

sin(θ-

π

4

)+

1

2

，（4分）
θ-

π

4

=

π

2

+2kπ即{θ|θ=

3π

4

+2kπ}（k∈Z）時，(

OA

•

OB

)max=

2

2

+

1

2

．（9分）
（2）將A點坐標代入直線方程得：
m=1-cosθ-2sin

θ

2

=2sin2

θ

2

 -2sin

θ

2

=2(sin

θ

2

-

1

2

)2-

1

2

∵-1≤sin

θ

2

≤1
∴-

1

2

≤m≤4（14分）

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、考查三角函數(shù)的和差角公式、二倍角公式、求三角函數(shù)最值的方法：整體角處理．