Question

設x，y∈R⁺，且xy-（x+y）=1，則（　　）

• A．x+y≥2

  2

  +2
• B．xy≤

  2

  +1
• C．x+y≤（

  2

  +1）²
• D．xy≥2

  2

  +2

Answer 1

分析：先根據均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入xy=1+x+y中，轉化為關于x+y的一元二次不等式，進而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案．

解答：解：∵x，y∈R+，
∴xy≤

(x+y)2

4

（當且僅當x=y時成立）．
∵xy=1+x+y，
∴1+x+y≤

(x+y)2

4

，解得x+y≥2+2

2

或x+y≤2-2

2

（舍），A符合題意，可排除C；
同理，由xy=1+x+y，得xy-1=x+y≥2

xy

（當且僅當x=y時成立），
解得

xy

≥1+

2

或

xy

≤1-

2

（舍），即xy≥3+2

2

從而排除B，D．
故選A．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．利用基本不等式和整體思想轉化為一元二次不等式，再由一元二不等式的解法進行求解，有較強的綜合性．