Question

5．已知函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，g（x）=2^x+a，若?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則實數a的取值范圍a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最大值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最大值，構造關于a的不等式，可得結論．

解答 解：當x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]時，由f（x）=x+$\frac{4}{x}$得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]單調遞減，在（2，3]遞增，
∴f（$\frac{1}{2}$）=8.5是函數的最大值，
當x₂∈[2，3]時，g（x）=2^x+a為增函數，
∴g（3）=a+8是函數的最大值，
又∵?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最大值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最大值，
即8.5≥a+8，解得：a≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識是指數函數以及對勾函數函數的圖象和性質，考察導數的應用，函數的單調性問題，本題是一道中檔題．