Question

設α、β都是銳角，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，則cosβ（　　）

• A．

  2 5

  25

• B．

  2 5

  5

• C．

  2 5

  25

  或

  2 5

  5

• D．

  2 5

  5

  或

  2 5

  25

Answer 1

分析：由α、β都是銳角，且cosα值小于

1

2

，得到sinα大于0，利用余弦函數的圖象與性質得出α的范圍，再由sin（α+β）的值大于

1

2

，利用正弦函數的圖象與性質得出α+β為鈍角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函數間的基本關系分別求出sinα和cos（α+β）的值，將所求式子中的角β變形為（α+β）-α，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：∵α、β都是銳角，且cosα=

5

5

＜

1

2

，
∴

π

3

＜α＜

π

2

，又sin（α+β）=

3

5

＞

1

2

，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

×

5

5

+

3

5

×

2 5

5

=

2 5

25

．
故選A

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦、余弦函數的圖象與性質，以及兩角和與差的余弦函數公式，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．