Question

設α、β都是銳角，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，則cosβ=

2 5

25

．

Answer 1

分析：由α為銳角，根據cosα的值，求出sinα的值，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡sin（α+β），且根據其值范圍確定出α+β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+β）的值，所求式子中的角β變形為（α+β）-α，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵α為銳角，cosα=

5

5

＜

2

2

，
∴sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，
∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

5

5

（2cosβ+sinβ）=

3

5

，且

1

2

＜

3

5

＜

2

2

，
∴2cosβ+sinβ=

3 5

5

①，且

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

×

5

5

+

3

5

×

2 5

5

=

2 5

25

．
故答案為：

2 5

25

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．