Question

【題目】已知等比數列{an}的第2項、第5項分別為二項式（2x+1）5展開式的第5項、第2項的系數．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）記數列{an}的前n項和為Sn ， 若存在實數λ，使 恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：二項式（2x+1）5展開式的通項公式為Tr+1= （2x）5﹣r，

由題意可得a2= 2=10，a5= 24=80，

設等比數列的公比為q，則q3= =8，解得q=2，

a1= =5，

則an=52n﹣1，n∈N*

（2）解：由（1）可得前n項和為Sn= =5（2n﹣1），

若存在實數λ，使 恒成立，

即為 ＞ ﹣ 恒成立．

化簡可得λ＞2﹣ ，即λ＞1﹣ ，

由n∈N*，可得 ∈（0，1]，

即有1﹣ ∈[0，1），

則當λ≥1時，使 恒成立

【解析】（1）求出二項式（2x+1）5展開式的通項公式，可得a2 ， a5 ， 運用等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比，即可得到所求；（2）運用等比數列的求和公式，可得Sn ， 再由參數分離，化簡可得λ＞1﹣ ，求出不等式右邊的范圍，即可得到所求實數λ的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．