Question

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍；

（3）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1）；(2) ；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時,，然后根據對數底數大于的圖象性質可得，解之即可得到答案；（2）根據題意可得，變形后為，然后將的值代入求解的值后進一步結合的取值范圍分析的取值范圍；（3）首先可以假設當時，則，故有，判斷出函數的單調性，可設函數在區間上的最大值與最小值分別為，令其兩者之差不小于列出不等式,解不等式即可.

試題解析：（1）由，得，

解得．

（2），，

當時，，經檢驗，滿足題意．

當時，，經檢驗，滿足題意．

當且時，，，．

是原方程的解當且僅當，即；

是原方程的解當且僅當，即．

于是滿足題意的．

綜上，的取值范圍為．

（3）當時，，，

所以在上單調遞減．

函數在區間上的最大值與最小值分別為，．

即，對任意

成立．

因為，所以函數在區間上單調遞增，時，

有最小值，由，得．

故的取值范圍為．