Question

設(shè)以AB=2a為直徑的半圓上有一點(diǎn)P（如圖所示），從P向AB引垂線，垂足為Q，求△APQ繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體體積的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)出∠PAQ，求出AP，QP，QA，然后得到旋轉(zhuǎn)體體積的表達(dá)式，通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用基本不等式求出體積的最大值即可．

解答：解：設(shè)∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos²θ，QP=2acosθsinθ，
所以以AB=2a為直徑的半圓上有一點(diǎn)P（如圖所示），從P向AB引垂線，垂足為Q，
△APQ繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體體積為：V=

1

3

πQP2•AQ=

1

3

π•(2asinθcosθ)2•2acos2θ
=

8

3

π•a3sin2θcos2θ •cos2θ
≤

2a3

3

(

2sin2θ+cos2θ+cos2θ

3

)3
=

16

81

a3．當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=cosθ，時(shí)取等號(hào)．
所得旋轉(zhuǎn)體體積的最大值

16

81

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查旋轉(zhuǎn)體的體積的表達(dá)式，函數(shù)最大值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．