Question

設以AB=2a為直徑的半圓上有一點P（如圖所示），從P向AB引垂線，垂足為Q，求△APQ繞AB旋轉一周，所得旋轉體體積的最大值．

Answer 1

解：設∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos²θ，QP=2acosθsinθ，
所以以AB=2a為直徑的半圓上有一點P（如圖所示），從P向AB引垂線，垂足為Q，
△APQ繞AB旋轉一周，所得旋轉體體積為：V==
=

=．當且僅當sinθ=cosθ，時取等號．
所得旋轉體體積的最大值．
分析：設出∠PAQ，求出AP，QP，QA，然后得到旋轉體體積的表達式，通過同角三角函數的基本關系，利用基本不等式求出體積的最大值即可．
點評：本題是中檔題，考查旋轉體的體積的表達式，函數最大值的求法，基本不等式的應用，考查計算能力．