Question

在平面直角坐標系中，矩形紙片ABCD的長為4，寬為2．AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合．將矩形紙片沿直線折疊，使點A落在邊CD上，記為點A'，如圖所示．
（1）設A'的坐標是（2a，2）（0≤a≤2），寫出折痕所在直線的方程；
（2）若折痕經過B時，求折痕所在直線的斜率，并寫出以折痕為直徑的圓方程．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，其折痕為線段OD的垂直平分線，由D和O的坐標求出線段OD的中點縱坐標，得到過中點且與y軸垂直的直線方程即為折痕所在的直線方程；當0＜a≤2時，根據對稱性質得到線段A'A的中點在折痕上，且折痕與直線A'A垂直，由A和A'的坐標求出線段A'A的中點坐標，及直線A'A的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出折痕所在直線的斜率，由求出的中點坐標和斜率寫出折痕所在的直線方程即可；
（2）把B的坐標代入（1）求出的折痕方程得到關于a的一元二次方程，求出方程的解得到a的值，進而得到折痕的斜率，進而確定出折痕所在直線的方程，求出折痕與y軸交點M的坐標，再利用中點坐標公式求出折痕中點N的坐標，即為圓心的坐標，由兩點間的距離公式求出|MB|的長，即為圓的半徑，由求出的圓心和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答：解：（1）當a=0時，則“拆痕”所在的直線為線段AD的中垂線，它的方程為y=1．
當0＜a≤2時，則線段A'A的中點E是（a，1），直線A'A的斜率k_A'A=

1

a

，
從而折痕所在直線的斜率k=-a，
此時折痕所在直線的方程為ax+y-1-a²=0；
（2）若折痕經過B時，由a²-4a+1=0，
解得a=2+

3

（舍去），或a=2-

3

，
所以折痕所在直線的斜率為-2．
此時折痕與y軸的交點M的坐標為（0，8-4

3

），折痕中點N的坐標為（2，4-2

3

），
則MB²=4²+（8-4

3

）²=16（8-4

3

）．
所以折痕為直徑的圓方程為（x-2）²+（y-4+2

3

）²=32-16

3

．

點評：此題考查了圓的標準方程，中點坐標公式，兩點間的距離公式，兩直線垂直時斜率滿足的關系，直線的一般式方程，以及兩直線的交點坐標，其中第一問熟練掌握折疊性質是解題的關鍵，第二問根據題意求出M和N的坐標是解題的關鍵．