Question

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y²=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=

 

．

Answer 1

分析：根據拋物線方程可求得焦點坐標，設過F的直線方程，與拋物線方程聯立，整理后，設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根據韋達定理可求得x₁x₂的值，又根據圓的方程，可知x₁x₂=1-r²代入答案可得．

解答：解：易知焦點F坐標（

1

4

，0），
設過F點直線方程為y=k（x-

1

4

）
代入拋物線方程，得 k²（x-

1

4

）²=4x．
化簡后為：k²x²-（

1

2

k²+）x+

1

16

k²=0．
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則有x₁x₂=

1

16

，
又以點（1，0）為圓心，r為半徑圓的方程為（x-1）²+y²-r²=0代入拋物線方程，得：x²-x+1-r²=0．
則有x₁x₂=1-r²，
∴1-r²=

1

16

，∴r=

15

4

，
故答案為：

15

4

．

點評：本題主要考查拋物線的應用和拋物線定義．對于過拋物線焦點的直線與拋物線關系，常用方程思想來解決．