Question

（2013•連云港一模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且ccosB+bcosC=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若

BA

•

BC

=2，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知得等式，根據sinA不為0即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的數量積運算法則化簡

BA

•

BC

=2，將cosB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出關系式，將cosB代入后利用基本不等式變形，將ac的值代入計算即可求出b的最小值．

解答：解：（1）∵ccosB+bcosC=3acosB，
∴由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又∵sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

3

；
（2）由

BA

•

BC

=2，得accosB=2，
∵cosB=

1

3

，
∴ac=6，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB≥2ac-

2

3

ac=8，當且僅當a=c時取等號，
則b的最小值為2

2

．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的數量積運算，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理是解本題的關鍵．