Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（其中常數(shù)a＞0，且a≠1）．
（1）當(dāng)a=10時，解關(guān)于x的方程f（x）=m（其中常數(shù)m＞2）；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]上的最小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=10時，f（x）=按照分段函數(shù)選擇解析式，
①當(dāng)x＜0時，f（x）=＞3．因為m＞2．所以當(dāng)2＜m≤3時，方程f（x）=m無解；當(dāng)m＞3，由10^x=求解．
②當(dāng)x≥0時，10^x≥1．由f（x）=m得10^x+=m，轉(zhuǎn)化為（10^x）²-m10^x+2=0．求解．
（2）根據(jù)題意有g(shù)（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根據(jù)指數(shù)函數(shù)，分①當(dāng)a＞1時，②當(dāng)0＜a＜1時，兩種情況分析，每種情況下，根據(jù)絕對值，再按照x≥0時和-2≤x＜0兩種情況討論．最后綜合取并集．
解答：解：（1）f（x）=（2分）
①當(dāng)x＜0時，f（x）=＞3．因為m＞2．
則當(dāng)2＜m≤3時，方程f（x）=m無解；
當(dāng)m＞3，由10^x=，得x=lg．（4分）
②當(dāng)x≥0時，10^x≥1．由f（x）=m得10^x+=m，
∴（10^x）²-m10^x+2=0．
因為m＞2，判別式△=m²-8＞0，解得10^x=．
因為m＞2，所以＞＞1．
所以由10^x=，解得x=lg．
令=1，得m=3．
所以當(dāng)m＞3時，=＜=1，
當(dāng)2＜m≤3時，=＞=1，解得x=lg．
綜上，當(dāng)m＞3時，方程f（x）=m有兩解x=lg和x=lg；
當(dāng)2＜m≤3時，方程f（x）=m有兩解x=lg．（8分）

（2）①若0＜a＜1，
當(dāng)x＜0時，0＜f（x）=＜3；
當(dāng)0≤x≤2時，f（x）=a^x+．
令t=a^x，則t∈[a²，1]，g（t）=t+在[a²，1]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=1，即x=0時f（x）取得最小值為3．
當(dāng)t=a²時，f（x）取得最大值為．
此時f（x）在（-∞，2]上的值域是（0，]，沒有最小值．（11分）
②若a＞1，
當(dāng)x＜0時，f（x）=＞3；
當(dāng)0≤x≤2時f（x）=a^x+．
令t=a^x，g（t）=t+，則t∈[1，a²]．
①若a²≤，g（t）=t+在[1，a²]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=a²即x=2時f（x）取最小值a²+，最小值與a有關(guān)；（13分）
②a²＞，g（t）=t+在[1，]上單調(diào)遞減，在[，a²]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t=即x=log_a時f（x）取最小值2，最小值與a無關(guān)．（15分）
綜上所述，當(dāng)a≥時，f（x）在（-∞，2]上的最小值與a無關(guān)．（16分）
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根，函數(shù)的最值等問題，還考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想．